#D10052. 「NOI2007」社交网络

前言（Front talk)

这是Floyd的进阶，我觉得非常的妙。

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P2047 [NOI2007] 社交网络 - 洛谷

题目（Problem）

在社交网络 ( Social Network ) 的研究中，我们常常使用图论概念去解释一些社会现象。不妨看这样的一个问题:

在一个社交圈子里有个人，人与人之间有不同程度的关系。我们将这个关系网络对应到一个个结点的无向图上，两个不同的人若互相认识，则在他们对应的结点之间连接一条无向边，并附上一个正数权值，越小，表示两个人之间的关系越密切。我们可以用对应结点之间的最短路长度来衡量两个人和之间的关系密切程度，注意到最短路径上的其他结点为和的联系提供了某种便利，即这些结点对于和之间的联系有一定的重要程度。我们可以通过统计经过一个结点的最短路径的数目来衡量该结点在社交网络中的重要程度。考虑到两个结点和之间可能会有多条最短路径。我们修改重要程度的定义如下：令表示从s到t的不同的最短路的数目，表示经过从到的最短路的数目；则定义：

为结点在社交网络中的重要程度。为了使和有意义，我们规定需要处理的社交网络都是连通的无向图，即任意两个结点之间都有一条有限长度的最短路径。现在给出这样一幅描述社交网络的加权无向图，请你求出每一个结点的重要程度。

输入格式

输入第一行有两个整数和，表示社交网络中结点和无向边的数目。
在无向图中，我们将所有结点从到进行编号。

接下来行，每行用三个整数描述一条连接结点和，权值为的无向边。
注意任意两个结点之间最多有一条无向边相连，无向图中也不会出现自环（即不存在一条无向边的两个端点是相同的结点）。

输出格式

输出包括行，每行一个实数，精确到小数点后位。第行的实数表示结点在社交网络中的重要程度。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

对于1号结点而言，只有2号到4号结点和4号到2号结点的最短路经过1号结点，而2号结点和4号结点之间的最短路又有2条。因而根据定义，1号结点的重要程度计算为1/2+1/2=1。由于图的对称性，其他三个结点的重要程度也都是1。

对于的数据，。
对于的数据，，任意一条边的权值是正整数且。所有数据中保证给出的无向图连通，且任意两个结点之间的最短路径数目不超过。

题解（Solution）

这道题非常的妙。

刚刚看到时，我一直在想这道题要怎么求出每个点是不是一条路径的最短路，然后就一直没有思路。

结果这道题用神奇的算法做。

可知，令表示点到点的最短路，那么如果满足，则点一定在点与点的最短路上，那么，再思考如何求出最短路的条数。

设表示点到点的最短路径条数，我们通过每次判断最短路来计入路径，于是有：

For(k,1,n) For(i,1,n) For(j,1,n){//O(n^3)
	if(mp[i][k]==inf && mp[k][j]==inf) continue;
	if(mp[i][j]>mp[i][k]+mp[k][j]){
		ed[i][j]=ed[i][k]*ed[k][j];
		mp[i][j]=mp[i][k]+mp[j][k];
	}else if(mp[i][j]==mp[i][k]+mp[k][j]){
		ed[i][j]+=ed[i][k]*ed[k][j];
	}
}

那么可得当时，这个点的重要程度会加上，有：

For(k,1,n) For(i,1,n) For(j,1,n){
	if(i==j || j==k || k==i) continue;
	if(mp[i][j]==mp[i][k]+mp[k][j]){
		ans[k]+=1.0*ed[i][k]*ed[k][j]/ed[i][j];
	} 
}

那么最终的答案就得出来了，这道题的经典之处在于这一个判断，其实可以通过这个条件看出要用算法，但是我当时看到路径之后就只在想如何用或者来记录最短路径，然后发现越想脑壳越晕，这告诉我们做题之前要先想想这道题和哪些算法有关，才能保证走上正确的道路。

代码（Code）

#include<bits/stdc++.h>
#include<vector>
#define For(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define Rof(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
using namespace std;
#define P pair<int,int>
#define int long long
inline int input(){int x;return cin>>x,x;}
const int inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N = 105;
int mp[N][N],ed[N][N];
double ans[N];
int n,m;
signed main(){ 
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
	memset(mp,0x3f,sizeof mp);
	cin>>n>>m;For(i,1,m){
		int x=input(),y=input(),v=input();
		mp[x][y]=mp[y][x]=v;
		ed[x][y]=ed[y][x]=1;
	}For(k,1,n) For(i,1,n) For(j,1,n){//O(n^3)
		if(mp[i][k]==inf && mp[k][j]==inf) continue;
		if(mp[i][j]>mp[i][k]+mp[k][j]){
			ed[i][j]=ed[i][k]*ed[k][j];
			mp[i][j]=mp[i][k]+mp[j][k];
		}else if(mp[i][j]==mp[i][k]+mp[k][j]){
			ed[i][j]+=ed[i][k]*ed[k][j];
		}
	}For(k,1,n) For(i,1,n) For(j,1,n){
		if(i==j || j==k || k==i) continue;
		if(mp[i][j]==mp[i][k]+mp[k][j]){
			ans[k]+=1.0*ed[i][k]*ed[k][j]/ed[i][j];
		} 
	}For(i,1,n) printf("%.3lf\n",ans[i]);
	return 0;
}